Abmahnung gilt nicht unbeschränkt

Frage
Vor fünf Jahren wurde ein Arbeitnehmer in unserem Betrieb abgemahnt. Seitdem leistet er vertragsgetreue Arbeit; es kam zu keinen Beanstandungen mehr. Vor zwei Wochen allerdings hat der Arbeitnehmer seine Pflichten aus dem Arbeitsverhältnis schwer verletzt. Nun möchte ihm die Personalabteilung kündigen – und zwar ohne erneute Abmahnung. Diese sei wegen der früheren Abmahnung hier entbehrlich. Ist das richtig oder hat die erste Abmahnung inzwischen ihre Wirkung verloren?
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